ระบบตัวเลข

ระบบตัวเลขคือชุดของกฎสำหรับการแสดงตัวเลขโดยใช้เครื่องหมายตัวเลขต่างๆ ระบบตัวเลขแบ่งออกเป็นสองประเภท: ไม่ใช่ตำแหน่งและตำแหน่ง

ในระบบเลขตำแหน่ง ค่าของตัวเลขแต่ละหลักไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่อยู่ นั่นคือ ตำแหน่งที่อยู่ในชุดของตัวเลข ในระบบเลขโรมัน มีเพียงเจ็ดหลักเท่านั้น: หนึ่ง (I) ห้า (V) สิบ (X) ห้าสิบ (L) หนึ่งร้อย (C) ห้าร้อย (D) หนึ่งพัน (M) การใช้ตัวเลขเหล่านี้ (สัญลักษณ์) จำนวนที่เหลือเขียนโดยการบวกและการลบ ตัวอย่างเช่น IV คือสัญลักษณ์ของเลข 4 (V — I) VI คือเลข 6 (V + I) เป็นต้น หมายเลข 666 เขียนในระบบโรมันดังนี้: DCLXVI

สัญกรณ์นี้สะดวกน้อยกว่าที่เราใช้อยู่ในปัจจุบัน ที่นี่หกเขียนด้วยสัญลักษณ์เดียว (VI), หกสิบกับอีกอัน (LX), หกร้อยและสาม (DC) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่เขียนในระบบเลขโรมันเป็นเรื่องยากมาก นอกจากนี้ ข้อเสียทั่วไปของระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือความซับซ้อนของการแทนจำนวนที่มากเพียงพอในนั้น ซึ่งส่งผลให้เกิดสัญกรณ์ที่ยุ่งยากมาก

ตอนนี้พิจารณาหมายเลขเดียวกัน 666 ในระบบหมายเลขตำแหน่ง ในนั้น เครื่องหมายเดียว 6 หมายถึงจำนวนหลักหากอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย จำนวนหลักสิบหากอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย และจำนวนหลักร้อยหากอยู่ในตำแหน่งที่สามนับจากจุดสิ้นสุด หลักการเขียนตัวเลขนี้เรียกว่าตำแหน่ง (ท้องถิ่น) ในการบันทึกดังกล่าว ตัวเลขแต่ละหลักจะได้รับค่าตัวเลข ซึ่งไม่เพียงขึ้นอยู่กับรูปแบบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตำแหน่งที่ตั้งเมื่อเขียนตัวเลขด้วย

ในระบบเลขตำแหน่ง จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็น A = +a1a2a3 … ann-1an สามารถแสดงเป็นผลรวมได้

โดยที่ n — จำนวนหลักที่จำกัดในภาพของตัวเลข, ii ตัวเลข i-go หลัก, d — ฐานของระบบตัวเลข, ผม — เลขลำดับของหมวดหมู่, dm-i — "น้ำหนัก" ของหมวด i-ro . ตัวเลข ai ต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน 0 <= a <= (d — 1)

สำหรับรูปแบบทศนิยม d = 10 และ ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

เนื่องจากตัวเลขที่ประกอบด้วยหนึ่งและศูนย์สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นเลขฐานสิบหรือเลขฐานสองเมื่อใช้ร่วมกัน จึงมักจะระบุฐานของระบบตัวเลข เช่น (1100)2 ฐานสอง, (1100)10 ฐานสิบ

ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัล ระบบอื่นที่ไม่ใช่ทศนิยมถูกใช้อย่างแพร่หลาย ได้แก่ เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสอง

สำหรับระบบนี้ d = 2 และอนุญาตให้ใช้ตัวเลขสองหลักเท่านั้น เช่น ai = 0 หรือ 1

ตัวเลขใดๆ ที่แสดงในระบบเลขฐานสองจะแสดงเป็นผลรวมของผลคูณของกำลังฐานสองเท่าของเลขฐานสองของบิตที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 101.01 สามารถเขียนได้ดังนี้: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2 ซึ่งสอดคล้องกับตัวเลขในระบบทศนิยม: 4 + 1 + 0.25 = 5.25 .

ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัลสมัยใหม่ส่วนใหญ่ ระบบเลขฐานสองจะใช้แทนตัวเลขในเครื่องและดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขเหล่านั้น

ระบบเลขฐานสองเมื่อเทียบกับทศนิยมทำให้วงจรและวงจรของอุปกรณ์เลขคณิตและอุปกรณ์หน่วยความจำง่ายขึ้นและเพิ่มความน่าเชื่อถือของคอมพิวเตอร์ หลักของแต่ละบิตของเลขฐานสองจะแสดงด้วยสถานะ «เปิด/ปิด» ขององค์ประกอบต่างๆ เช่น ทรานซิสเตอร์ ไดโอด ซึ่งทำงานได้อย่างน่าเชื่อถือในสถานะ «เปิด/ปิด» ข้อเสียของระบบเลขฐานสองรวมถึงความจำเป็นในการแปลตามโปรแกรมพิเศษ ข้อมูลดิจิทัลต้นฉบับเข้าสู่ระบบเลขฐานสองและผลลัพธ์ของการตัดสินใจเป็นทศนิยม

ระบบเลขฐานแปด

ระบบนี้มีฐาน d == 8 ตัวเลขใช้แทนตัวเลข: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

ระบบเลขฐานแปดถูกนำมาใช้ในคอมพิวเตอร์เพื่อช่วยในการเตรียมปัญหาสำหรับการแก้ไข (ในกระบวนการเขียนโปรแกรม) ในการตรวจสอบการทำงานของเครื่อง และในการดีบักโปรแกรม ระบบนี้ให้การแสดงจำนวนที่สั้นกว่าระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปดช่วยให้คุณเปลี่ยนไปใช้ระบบเลขฐานสองได้ง่ายๆ

ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบนี้มีฐาน d = 16 อักขระ 16 ตัวใช้แทนตัวเลข: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F และ the อักขระ A … F แทนเลขฐานสิบ 10, 11, 12, 13, 14 และ 15 เลขฐานสิบหก (1D4F) 18 จะสอดคล้องกับเลขฐานสิบ 7503 เนื่องจาก (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

เลขฐานสิบหกทำให้สามารถเขียนเลขฐานสองได้กระชับกว่าเลขฐานแปด พบแอปพลิเคชันในอุปกรณ์อินพุตและเอาต์พุตและอุปกรณ์แสดงลำดับหมายเลขของคอมพิวเตอร์บางเครื่อง

ระบบเลขฐานสอง-ทศนิยม

การแสดงตัวเลขในระบบฐานสอง-ทศนิยมมีดังนี้ สัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลขจะยึดเป็นฐาน จากนั้นแต่ละหลัก (ตั้งแต่ 0 ถึง 9) จะเขียนในรูปของเลขฐานสองสี่หลักที่เรียกว่า เตตระ นั่นคือไม่มีเครื่องหมายใดที่ใช้แทน แต่ละหลักของระบบทศนิยมแต่สี่

ตัวอย่างเช่น ทศนิยม 647.59 จะสอดคล้องกับ BCD 0110 0100 0111, 0101 1001

ระบบเลขฐานสอง-ฐานสิบใช้เป็นระบบเลขกลางและสำหรับเข้ารหัสเลขเข้าและออก

กฎสำหรับการโอนระบบหมายเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

การแลกเปลี่ยนข้อมูลระหว่างอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ดำเนินการผ่านตัวเลขที่แสดงในระบบเลขฐานสอง อย่างไรก็ตาม ข้อมูลจะแสดงต่อผู้ใช้เป็นตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ และการแสดงคำสั่งแอดเดรสในระบบเลขฐานแปด ดังนั้นจำเป็นต้องถ่ายโอนหมายเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งในกระบวนการทำงานกับคอมพิวเตอร์ ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้กฎทั่วไปต่อไปนี้

ในการแปลงจำนวนเต็มจากระบบตัวเลขใดๆ ไปเป็นอีกระบบหนึ่ง จำเป็นต้องนำตัวเลขนี้ไปหารด้วยฐานของระบบใหม่อย่างต่อเนื่อง จนกว่าผลหารจะไม่น้อยกว่าตัวหาร จำนวนในระบบใหม่ต้องเขียนในรูปเศษเหลือของการหาร โดยเริ่มจากตัวสุดท้าย นั่นคือจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงทศนิยมในปี 1987 เป็นเลขฐานสอง:

เลขฐานสิบ 1987 ในรูปแบบไบนารีคือ 11111000011 เช่น (2530)10 = (11111000011)2

เมื่อเปลี่ยนจากระบบใดๆ เป็นทศนิยม ตัวเลขจะแสดงเป็นผลรวมของเลขยกกำลังของฐานด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน จากนั้นจึงคำนวณค่าของผลรวม

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเลขฐานแปด 123 เป็นทศนิยม: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83 เช่น (123)8 = (83)10

ในการโอนส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง จำเป็นต้องดำเนินการคูณเศษส่วนนี้อย่างต่อเนื่องและผลคูณที่เป็นเศษส่วนของผลคูณตามระบบตัวเลขใหม่ ส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขในระบบใหม่นั้นถูกสร้างขึ้นในรูปของส่วนทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ โดยเริ่มจากส่วนแรก กระบวนการคูณจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะคำนวณตัวเลขที่มีความแม่นยำที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเศษส่วนทศนิยม 0.65625 เป็นระบบเลขฐานสอง:

เนื่องจากเศษส่วนของผลคูณที่ห้าประกอบด้วยศูนย์เท่านั้น จึงไม่จำเป็นต้องคูณเพิ่ม ซึ่งหมายความว่าทศนิยมที่กำหนดจะถูกแปลงเป็นเลขฐานสองโดยไม่มีข้อผิดพลาด เช่น (0.65625)10 = (0.10101)2.

การแปลงจากเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสองและกลับกันไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจากฐานของพวกมัน (d — 8 และ d — 16) ตรงกับจำนวนเต็มของสอง (23 = 8 และ 24 = 16)

หากต้องการแปลงเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสอง ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่ตัวเลขแต่ละตัวด้วยเลขฐานสองสามหรือสี่หลักตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ลองแปลเลขฐานแปด (571)8 และเลขฐานสิบหก (179)16 เป็นระบบเลขฐานสอง

ในทั้งสองกรณีเราจะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน นั่นคือ (571)8 = (179)16 = (101111001)2

ในการแปลงตัวเลขจากทศนิยมแบบไบนารีเป็นทศนิยม คุณต้องแทนที่แต่ละเตตระของตัวเลขที่แสดงเป็นทศนิยมแบบไบนารีด้วยตัวเลขที่แสดงเป็นทศนิยม

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนตัวเลข (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 ในรูปแบบทศนิยม เช่น (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)