เหตุใดจึงใช้จำนวนเชิงซ้อนในการคำนวณในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

อย่างที่คุณทราบ ตัวเลขเชิงซ้อนถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาทั่วไปบางอย่างในวิศวกรรมไฟฟ้า แต่พวกเขาใช้เพื่ออะไรและทำไมจึงทำเช่นนี้? นี่คือสิ่งที่เราจะพยายามทำความเข้าใจในบทความนี้ ความจริงก็คือวิธีการที่ซับซ้อนหรือวิธีการของแอมพลิจูดที่ซับซ้อนนั้นสะดวกสำหรับการคำนวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับที่ซับซ้อน และเริ่มต้นด้วย เรามาระลึกถึงพื้นฐานทางคณิตศาสตร์บางประการ:

อย่างที่คุณเห็น จำนวนเชิงซ้อน z ประกอบด้วยส่วนจินตภาพและส่วนจริงซึ่งแตกต่างกันและแสดงต่างกันในข้อความ จำนวนเชิงซ้อน z สามารถเขียนได้ในรูปแบบพีชคณิต ตรีโกณมิติ หรือเลขชี้กำลัง:

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

มีความเชื่อกันว่าแนวคิดเรื่องจำนวนจินตภาพเริ่มขึ้นในปี ค.ศ. 1545 เมื่อนักคณิตศาสตร์ วิศวกร นักปรัชญา แพทย์ และนักโหราศาสตร์ชาวอิตาลี จิโรลาโม คาร์ดาโน เผยแพร่วิธีการแก้สมการนี้ในบทความเรื่อง "The Great Art" ซึ่งอ้างอิงจากคนอื่นๆ เขายอมรับว่า Niccolò ได้ให้แนวคิดแก่ Tartaglia (นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี) เมื่อ 6 ปีก่อนที่ผลงานชิ้นนี้จะตีพิมพ์ ในงานของเขา Kradano แก้สมการของรูปแบบ:

ในกระบวนการแก้สมการเหล่านี้ นักวิทยาศาสตร์ถูกบังคับให้ยอมรับการมีอยู่ของจำนวน «ไม่จริง» ซึ่งกำลังสองจะเท่ากับลบหนึ่ง «-1» นั่นคือ ราวกับว่ามีรากที่สองของ a จำนวนลบ และถ้าตอนนี้กำลังยกกำลังสอง จะกลายเป็นจำนวนลบที่สอดคล้องกันภายใต้ราก Cardano ระบุกฎของการคูณตามที่:

เป็นเวลากว่าสามศตวรรษที่ชุมชนคณิตศาสตร์อยู่ในขั้นตอนการทำความคุ้นเคยกับแนวทางใหม่ที่เสนอโดย Cardano จำนวนจินตภาพค่อยๆ หยั่งราก แต่นักคณิตศาสตร์ลังเลที่จะยอมรับ จนกระทั่งมีการตีพิมพ์ผลงานของ Gauss เกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต และในที่สุดจำนวนเชิงซ้อนก็ได้รับการยอมรับอย่างสมบูรณ์ ศตวรรษที่ 19 ก็อยู่ใกล้แค่เอื้อม

จำนวนจินตภาพกลายเป็นเครื่องช่วยชีวิตที่แท้จริงสำหรับนักคณิตศาสตร์ เพราะปัญหาที่ซับซ้อนที่สุดจะแก้ไขได้ง่ายกว่ามากโดยการยอมรับการมีอยู่ของจำนวนจินตภาพ

ในไม่ช้ามันก็มาถึงวิศวกรรมไฟฟ้า วงจรไฟฟ้ากระแสสลับบางครั้งซับซ้อนมากและต้องมีการคำนวณอินทิกรัลจำนวนมากเพื่อคำนวณ ซึ่งมักจะไม่สะดวกมาก

ในที่สุด ในปี พ.ศ. 2436 คาร์ล ออกุสต์ สไตน์เมตซ์ วิศวกรไฟฟ้าผู้ปราดเปรื่องได้พูดในชิคาโกที่ International Electrotechnical Congress พร้อมรายงาน "จำนวนเชิงซ้อนและการประยุกต์ใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า" ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการประยุกต์ใช้เชิงปฏิบัติโดยวิศวกรของวิธีการที่ซับซ้อนของ การคำนวณวงจรไฟฟ้าสำหรับกระแสสลับ

เรารู้เรื่องนี้จากวิชาฟิสิกส์ กระแสสลับ — นี่คือกระแสที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาทั้งขนาดและทิศทาง

ในเทคโนโลยีมีรูปแบบต่าง ๆ ของกระแสสลับ แต่ที่พบมากที่สุดในปัจจุบันคือกระแสสลับไซน์ซึ่งเป็นสิ่งที่ใช้ทุกที่ด้วยความช่วยเหลือของการส่งกระแสไฟฟ้าในรูปของกระแสสลับซึ่งสร้างขึ้นแปลงโดย หม้อแปลงและถูกใช้โดยโหลด กระแสไซน์เปลี่ยนแปลงเป็นระยะตามกฎไซน์ (ฮาร์มอนิก)

ค่าที่มีประสิทธิภาพของกระแสและแรงดันน้อยกว่าค่าแอมพลิจูดของรูทสองเท่า:

ในวิธีการที่ซับซ้อนค่าที่มีประสิทธิภาพของกระแสและแรงดันจะถูกเขียนดังนี้:

โปรดทราบว่าในวิศวกรรมไฟฟ้า หน่วยจินตภาพจะแสดงด้วยตัวอักษร «j» เนื่องจากตัวอักษร «i» ถูกใช้เพื่อแสดงกระแสไฟฟ้าแล้วที่นี่

จาก กฎของโอห์ม กำหนดค่าที่ซับซ้อนของความต้านทาน:

การบวกและการลบค่าเชิงซ้อนจะทำในรูปแบบพีชคณิต และการคูณและการหารในรูปแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ลองพิจารณาวิธีการของแอมพลิจูดที่ซับซ้อนโดยใช้ตัวอย่างวงจรเฉพาะที่มีค่าพารามิเตอร์หลักที่แน่นอน

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

ที่ให้ไว้:

• แรงดันคอยล์ 50 V,

• ตัวต้านทานความต้านทาน 25 โอห์ม

• ตัวเหนี่ยวนำขดลวด 500 mH,

• ความจุไฟฟ้าของตัวเก็บประจุคือ 30 microfarads

• ค่าความต้านทานคอยล์ 10 โอห์ม

• ความถี่ไฟหลัก 50 Hz.

ค้นหา: การอ่านค่าแอมมิเตอร์และโวลต์มิเตอร์รวมถึงวัตต์มิเตอร์

คำตอบ:

ในการเริ่มต้น เราเขียนความต้านทานที่ซับซ้อนขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ จากนั้นเราจะหาความต้านทานที่ซับซ้อนขององค์ประกอบแบบแอคทีฟ-อินดัคทีฟ

จำได้! เพื่อให้ได้รูปแบบเลขชี้กำลัง ให้หาโมดูลัส z เท่ากับรากที่สองของผลรวมกำลังสองของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ และ phi เท่ากับส่วนโค้งของผลหารของส่วนจินตภาพหารด้วยส่วนจริง

จากนั้นเราจะพบกระแสและตามด้วยการอ่านค่าแอมมิเตอร์:

ดังนั้น แอมมิเตอร์จึงแสดงกระแส 0.317 A นั่นคือกระแสที่ไหลผ่านวงจรอนุกรมทั้งหมด

ตอนนี้เราจะพบความต้านทาน capacitive ของตัวเก็บประจุแล้วเราจะกำหนดความต้านทานที่ซับซ้อน:

จากนั้นเราจะคำนวณอิมพีแดนซ์ที่ซับซ้อนทั้งหมดของวงจรนี้:

ตอนนี้เราพบแรงดันไฟฟ้าที่ใช้กับวงจร:

โวลต์มิเตอร์จะแสดงแรงดันไฟฟ้าจริง 19.5 โวลต์

ในที่สุดเราจะพบกำลังไฟฟ้าที่วัตต์มิเตอร์จะแสดงโดยคำนึงถึงความแตกต่างของเฟสระหว่างกระแสและแรงดัน

วัตต์มิเตอร์จะแสดง 3.51 วัตต์

ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความสำคัญอย่างไรในวิศวกรรมไฟฟ้า ใช้สำหรับการคำนวณวงจรไฟฟ้าที่สะดวก อุปกรณ์วัดทางอิเล็กทรอนิกส์จำนวนมากทำงานบนพื้นฐานเดียวกัน