สมการของแมกซ์เวลล์สำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า — กฎพื้นฐานของอิเล็กโทรไดนามิกส์

ระบบสมการของแมกซ์เวลล์มาจากชื่อและลักษณะที่ปรากฏของเจมส์ เคลิร์ก แม็กซ์เวลล์ ผู้คิดค้นและเขียนสมการเหล่านี้ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19

แม็กซ์เวลล์ เจมส์ คลาร์ก (2374-2422) เป็นนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่มีชื่อเสียง เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ในอังกฤษ

เขารวมผลการทดลองทั้งหมดที่ได้รับในเวลานั้นเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็กเข้าด้วยกันในสมการของเขาและทำให้กฎของแม่เหล็กไฟฟ้ามีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจน กฎพื้นฐานของอิเล็กโทรไดนามิกส์ (สมการของ Maxwell) ถูกกำหนดขึ้นในปี 1873

Maxwell ได้พัฒนาหลักคำสอนของ Faraday เกี่ยวกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นไปตามความเป็นไปได้ของการแพร่กระจายคลื่นของกระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้า ปรากฎว่าความเร็วของการแพร่กระจายของกระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้าเท่ากับความเร็วของแสง (ค่าที่ทราบแล้วจากการทดลอง)

ความบังเอิญนี้เป็นพื้นฐานสำหรับ Maxwell ในการแสดงความคิดเกี่ยวกับธรรมชาติทั่วไปของปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าและแสงเช่น ในลักษณะแม่เหล็กไฟฟ้าของแสง

ทฤษฎีปรากฏการณ์แม่เหล็กไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดย James Maxwell พบการยืนยันครั้งแรกในการทดลองของ Hertz ซึ่งได้รับ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า.

ด้วยเหตุนี้ สมการเหล่านี้จึงมีบทบาทสำคัญในการสร้างตัวแทนที่ถูกต้องของอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิก สมการของ Maxwell สามารถเขียนในรูปดิฟเฟอเรนเชียลหรืออินทิกรัลก็ได้ ในทางปฏิบัติ พวกเขาอธิบายด้วยภาษาแห้งของคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและความสัมพันธ์กับประจุไฟฟ้าและกระแสในสุญญากาศและในสื่อต่อเนื่อง คุณสามารถเพิ่มสมการเหล่านี้ได้ การแสดงออกของแรง Lorentzซึ่งในกรณีนี้เราจะได้รับ ระบบสมการที่สมบูรณ์ของอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบดั้งเดิม.

เพื่อให้เข้าใจสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ใช้ในรูปแบบอนุพันธ์ของสมการของแมกซ์เวลล์ ขั้นแรกให้เรานิยามสิ่งที่น่าสนใจ เช่น ตัวดำเนินการนาบลา

ตัวดำเนินการ Nabla (หรือตัวดำเนินการแฮมิลตัน) เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ของเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเป็นอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวกับพิกัด สำหรับพื้นที่จริงของเรา ซึ่งเป็นสามมิติ ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเหมาะสม ซึ่งตัวดำเนินการ nabla กำหนดไว้ดังนี้:

โดยที่ i, j และ k เป็นเวกเตอร์พิกัดหน่วย

ตัวดำเนินการ nabla เมื่อนำไปใช้กับฟิลด์ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์ จะให้ค่าผสมที่เป็นไปได้สามค่า ชุดค่าผสมเหล่านี้เรียกว่า:

การไล่ระดับสี — เวกเตอร์ที่มีทิศทางระบุทิศทางของการเพิ่มขึ้นที่ใหญ่ที่สุดของปริมาณหนึ่งๆ ค่าที่แปรผันจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง (สนามสเกลาร์) และขนาด (โมดูล) เท่ากับอัตราการเติบโตนี้ ปริมาณในทิศทางนี้

ไดเวอร์เจนซ์ (ไดเวอร์เจนซ์) — ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลที่จับคู่ฟิลด์เวกเตอร์กับสเกลาร์ (นั่นคือ จากการใช้การดำเนินการสร้างความแตกต่างกับฟิลด์เวกเตอร์ จะได้ฟิลด์สเกลาร์) ซึ่งกำหนด (สำหรับแต่ละจุด) "จำนวนฟิลด์ที่ป้อนและ ออกจากพื้นที่ใกล้เคียงเล็ก ๆ ของจุดที่กำหนด” แม่นยำยิ่งขึ้นว่าการไหลเข้าและออกแตกต่างกันอย่างไร

โรเตอร์ (กระแสน้ำวน, การหมุน) เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เวกเตอร์บนสนามเวกเตอร์

ตอนนี้คิดตรงๆ สมการของ Maxwell ในรูปแบบอินทิกรัล (ซ้าย) และดิฟเฟอเรนเชียล (ขวา)ประกอบด้วยกฎพื้นฐานของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก รวมถึงการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า

รูปแบบอินทิกรัล: การไหลเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าตามวงปิดโดยพลการนั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กผ่านบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงนี้

รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: ทุกการเปลี่ยนแปลงในสนามแม่เหล็กจะสร้างสนามไฟฟ้าวนตามสัดส่วนกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของการเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็ก

ความหมายทางกายภาพ: การเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในสนามแม่เหล็กเมื่อเวลาผ่านไปทำให้เกิดสนามไฟฟ้าวน

รูปแบบอินทิกรัล: ฟลักซ์การเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีประจุแม่เหล็กในธรรมชาติ

รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: ฟลักซ์ของเส้นสนามของการเหนี่ยวนำของสนามแม่เหล็กของปริมาตรมูลฐานที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากสนามเป็นลมวน

ความหมายทางกายภาพ: ในธรรมชาติไม่มีแหล่งกำเนิดสนามแม่เหล็กในรูปของประจุแม่เหล็ก

รูปแบบอินทิกรัล: การไหลเวียนของเวกเตอร์ความแรงของสนามแม่เหล็กตามวงปิดโดยพลการนั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับกระแสทั้งหมดที่ข้ามพื้นผิวที่ปกคลุมด้วยวงนี้

รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: สนามแม่เหล็กหมุนวนมีอยู่รอบ ๆ ตัวนำที่มีกระแสไฟฟ้าและรอบ ๆ สนามไฟฟ้ากระแสสลับ

ความหมายทางกายภาพ: การไหลของกระแสไฟฟ้าผ่านสายไฟและการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าตามเวลาทำให้เกิดสนามแม่เหล็กหมุนวน

รูปแบบอินทิกรัล: ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิตผ่านพื้นผิวปิดโดยพลการซึ่งล้อมรอบประจุไว้เป็นสัดส่วนโดยตรงกับประจุทั้งหมดที่อยู่ในพื้นผิวนั้น

รูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: ฟลักซ์ของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำของสนามไฟฟ้าสถิตจากปริมาตรมูลฐานที่ไม่สิ้นสุดเป็นสัดส่วนโดยตรงกับประจุทั้งหมดในปริมาตรนั้น

ความหมายทางกายภาพ: แหล่งที่มาของสนามไฟฟ้าคือประจุไฟฟ้า

ระบบของสมการเหล่านี้สามารถเสริมด้วยระบบสมการวัสดุที่เรียกว่า สมการที่แสดงคุณสมบัติของตัวกลางวัสดุที่เติมช่องว่าง: