กฎของ Biot-Savart และทฤษฎีบทของการไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

ในปี พ.ศ. 2363 นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean-Baptiste Biot และFélix Savard ในระหว่างการทดลองร่วมกันเพื่อศึกษาสนามแม่เหล็กของกระแสตรงได้พิสูจน์ให้เห็นอย่างชัดเจนว่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของกระแสตรงที่ไหลผ่านตัวนำสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลมาจาก การกระทำทั่วไปของทุกส่วนของสายนี้ด้วยกระแส ซึ่งหมายความว่าสนามแม่เหล็กเป็นไปตามหลักการซ้อนทับ (หลักการซ้อนทับของสนาม)

สนามแม่เหล็กที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มของสายไฟ DC มีดังต่อไปนี้ การเหนี่ยวนำแม่เหล็กค่าของมันถูกกำหนดเป็นผลรวมเวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่สร้างขึ้นโดยตัวนำแต่ละตัวแยกกัน นั่นคือ การเหนี่ยวนำ B ของตัวนำไฟฟ้ากระแสตรงสามารถแสดงได้อย่างเป็นธรรมด้วยผลรวมเวกเตอร์ของการเหนี่ยวนำเบื้องต้น dB ที่เป็นของส่วนมูลฐาน dl ของตัวนำไฟฟ้ากระแสตรงที่พิจารณา I

การแยกส่วนพื้นฐานของตัวนำไฟฟ้ากระแสตรงนั้นไม่สมจริงในทางปฏิบัติเพราะ กระแสตรง. ปิดเสมอแต่คุณสามารถวัดค่าการเหนี่ยวนำแม่เหล็กทั้งหมดที่เกิดจากเส้นลวดได้ นั่นคือ เกิดจากส่วนประกอบพื้นฐานทั้งหมดของเส้นลวดที่กำหนด

ดังนั้น กฎของ Biot-Sovar ทำให้คุณสามารถค้นหาค่าของการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B ของส่วน (ความยาวที่ทราบ dl) ของตัวนำด้วยกระแสตรง I ที่กำหนด ที่ระยะหนึ่ง r จากส่วนนี้ของตัวนำและใน a ทิศทางการสังเกตบางอย่างจากส่วนที่เลือก (ตั้งค่าผ่านไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของกระแสและทิศทางจากส่วนของตัวนำไปยังจุดที่ตรวจสอบในช่องว่างใกล้กับตัวนำ):

จากการทดลองพบว่าทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กนั้นกำหนดได้ง่ายโดยสกรูมือขวาหรือกฎ gimbal: หากทิศทางของการเคลื่อนที่เชิงแปลของ gimbal ระหว่างการหมุนนั้นตรงกับทิศทางของกระแสตรง I ในเส้นลวด ทิศทางการหมุนของที่จับ gimbal กำหนดทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B ที่เกิดจากกระแสที่กำหนด

สนามแม่เหล็กของเส้นลวดที่มีกระแสตรงรวมถึงภาพประกอบของการใช้กฎของ Bio-Savart แสดงอยู่ในรูป:

ดังนั้นหากเรารวมเข้าด้วยกัน นั่นคือ เพิ่มการมีส่วนร่วมของส่วนเล็ก ๆ แต่ละส่วนของตัวนำกระแสคงที่เข้ากับสนามแม่เหล็กทั้งหมด เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของตัวนำปัจจุบันที่รัศมีหนึ่ง R จากมัน .

ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้กฎของ Bio-Savard คุณสามารถคำนวณการเหนี่ยวนำแม่เหล็กจากกระแสตรงของการกำหนดค่าต่างๆ และที่จุดต่างๆ ในอวกาศได้ ตัวอย่างเช่น การเหนี่ยวนำแม่เหล็กที่ศูนย์กลางของวงจรวงกลมที่มีกระแสอยู่จะพบได้โดย สูตรต่อไปนี้:

ทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กนั้นหาได้ง่ายตามกฎ gimbal ตอนนี้จะต้องหมุน gimbal ในทิศทางของกระแสปิด และการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของ gimbal จะแสดงทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก

บ่อยครั้งที่การคำนวณเกี่ยวกับสนามแม่เหล็กสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากเราคำนึงถึงความสมมาตรของการกำหนดค่ากระแสที่กำหนดโดยสนามกำเนิด ที่นี่คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทของการไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก (เช่นทฤษฎีบทเกาส์ในไฟฟ้าสถิต) «การไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก» คืออะไร?

ให้เราเลือกวงปิดที่มีรูปร่างโดยพลการในอวกาศและระบุทิศทางบวกของการเดินทางแบบมีเงื่อนไข สำหรับแต่ละจุดของลูปนี้ คุณจะพบเส้นโครงของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B บนเส้นสัมผัสกับลูปที่จุดนั้น จากนั้นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณเหล่านี้ตามความยาวเบื้องต้นของทุกส่วนของรูปร่างคือการไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B ตามรูปร่างนี้:

กระแสเกือบทั้งหมดที่สร้างสนามแม่เหล็กทั่วไปที่นี่สามารถทะลุผ่านวงจรที่กำลังพิจารณาอยู่ หรือบางส่วนอาจอยู่นอกวงจรก็ได้ ตามทฤษฎีบทการไหลเวียน: การไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B ของกระแสตรงในวงปิดมีค่าเท่ากับผลคูณของค่าคงที่แม่เหล็ก mu0 โดยผลรวมของกระแสตรงทั้งหมดที่ทะลุผ่านวง ทฤษฎีบทนี้กำหนดขึ้นโดย Andre Marie Ampere ในปี 1826:

พิจารณาตัวเลขด้านบน ที่นี่กระแส I1 และ I2 ทะลุผ่านวงจร แต่พวกมันถูกนำไปในทิศทางที่ต่างกันซึ่งหมายความว่าพวกมันมีสัญญาณต่างกันตามเงื่อนไขเครื่องหมายบวกจะมีกระแสซึ่งทิศทางของการเหนี่ยวนำแม่เหล็ก (ตามกฎพื้นฐาน) ตรงกับทิศทางของบายพาสของวงจรที่เลือก สำหรับสถานการณ์นี้ ทฤษฎีบทการไหลเวียนจะอยู่ในรูปแบบ:

โดยทั่วไป ทฤษฎีบทสำหรับการไหลเวียนของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก B เป็นไปตามหลักการซ้อนทับของสนามแม่เหล็กและกฎไบโอต-ซาวาร์ด

ตัวอย่างเช่น เราได้สูตรสำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของตัวนำไฟฟ้ากระแสตรง ให้เราเลือกรูปร่างในรูปแบบของวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางที่เส้นลวดนี้ผ่านและเส้นลวดนั้นตั้งฉากกับระนาบของเส้นชั้นความสูง

ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมจึงอยู่ตรงกึ่งกลางของตัวนำ นั่นคือในตัวนำ เนื่องจากภาพมีความสมมาตร เวกเตอร์ B จึงพุ่งตรงไปยังวงกลม ดังนั้นเส้นโครงของมันบนเส้นสัมผัสจึงเหมือนกันทุกที่และเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ B ทฤษฎีบทการหมุนเวียนเขียนได้ดังนี้

ดังนั้นสูตรสำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของตัวนำตรงที่มีกระแสตรงจึงเป็นไปตาม (สูตรนี้ได้รับข้างต้นแล้ว) ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้ทฤษฎีบทการไหลเวียน เราสามารถค้นหาการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของการกำหนดค่า DC แบบสมมาตรได้อย่างง่ายดาย ซึ่งภาพของเส้นสนามนั้นง่ายต่อการมองเห็น

หนึ่งในตัวอย่างที่สำคัญในทางปฏิบัติของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการไหลเวียนคือการหาสนามแม่เหล็กภายในตัวเหนี่ยวนำแบบวงแหวน

สมมติว่ามีขดลวด Toroidal พันรอบบนกรอบกระดาษแข็งรูปโดนัทที่มีจำนวนรอบ N ในการกำหนดค่านี้ เส้นเหนี่ยวนำแม่เหล็กจะอยู่ภายในโดนัทและมีศูนย์กลาง (อยู่ภายในกันและกัน) เป็นรูปวงกลม .

หากคุณมองในทิศทางของเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กตามแกนด้านในของโดนัท ปรากฎว่ากระแสพุ่งไปทุกที่ตามเข็มนาฬิกา (ตามกฎ gimbal) พิจารณาเส้นใดเส้นหนึ่ง (แสดงเป็นสีแดง) ของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กภายในขดลวด แล้วเลือกเป็นเส้นวงกลมรัศมี r จากนั้นจึงเขียนทฤษฎีบทการไหลเวียนของวงจรที่กำหนดได้ดังนี้

และการเหนี่ยวนำแม่เหล็กของสนามภายในขดลวดจะเท่ากับ:

สำหรับขดลวด Toroidal แบบบาง ซึ่งสนามแม่เหล็กเกือบจะสม่ำเสมอทั่วทั้งหน้าตัด เป็นไปได้ที่จะเขียนนิพจน์สำหรับการเหนี่ยวนำแม่เหล็กเหมือนกับโซลินอยด์ที่ยาวไม่สิ้นสุด โดยคำนึงถึงจำนวนรอบต่อความยาวหนึ่งหน่วย — n :

ลองพิจารณาโซลินอยด์ที่มีความยาวไม่สิ้นสุดซึ่งมีสนามแม่เหล็กอยู่ภายในทั้งหมด เราใช้ทฤษฎีบทการไหลเวียนกับรูปร่างสี่เหลี่ยมที่เลือก

ที่นี่เวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็กจะให้การฉายภาพที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะด้าน 2 (ความยาวเท่ากับ L) การใช้พารามิเตอร์ n — «จำนวนรอบต่อความยาวหน่วย» เราได้รับรูปแบบของทฤษฎีบทการไหลเวียนซึ่งท้ายที่สุดจะลดเหลือรูปแบบเดียวกับขดลวด toroidal แบบ multitonCoy: