กฎของพีชคณิตวงจรสัมผัส, พีชคณิตบูลีน

บันทึกเชิงวิเคราะห์ของโครงสร้างและสภาพการทำงานของวงจรรีเลย์ทำให้สามารถดำเนินการแปลงวงจรที่เทียบเท่าเชิงวิเคราะห์ได้ นั่นคือ โดยการแปลงสูตรโครงสร้าง ค้นหาโครงร่างที่คล้ายกันในการทำงาน วิธีการแปลงได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสูตรโครงสร้างที่แสดงวงจรสัมผัส

สำหรับวงจรการติดต่อเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของพีชคณิตของลอจิกถูกนำมาใช้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นซึ่งเป็นหนึ่งในสายพันธุ์ที่ง่ายที่สุดที่เรียกว่าแคลคูลัสเชิงประพจน์หรือพีชคณิตบูลีน (หลังจากนักคณิตศาสตร์ของ J. Boole ในศตวรรษที่ผ่านมา)

เดิมทีแคลคูลัสเชิงประพจน์ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อศึกษาการพึ่งพาอาศัยกัน (ความจริงหรือความเท็จของการตัดสินที่ซับซ้อนเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของประพจน์อย่างง่ายที่ประกอบขึ้น โดยพื้นฐานแล้ว แคลคูลัสเชิงประพจน์คือพีชคณิตของตัวเลขสองตัว นั่นคือพีชคณิตใน ซึ่งแต่ละอาร์กิวเมนต์และแต่ละฟังก์ชันจะมีค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่าได้

สิ่งนี้กำหนดความเป็นไปได้ของการใช้พีชคณิตบูลีนเพื่อแปลงวงจรการติดต่อ เนื่องจากแต่ละอาร์กิวเมนต์ (ผู้ติดต่อ) ที่รวมอยู่ในสูตรโครงสร้างสามารถรับได้เพียงสองค่า นั่นคือสามารถปิดหรือเปิดได้ และฟังก์ชันทั้งหมดแสดงโดยโครงสร้าง สูตรสามารถแสดงได้ทั้งวงปิดหรือวงเปิด

พีชคณิตบูลีนแนะนำ:

1) วัตถุที่มีชื่อเหมือนในพีชคณิตทั่วไป: ตัวแปรอิสระและฟังก์ชัน — อย่างไรก็ตาม ในพีชคณิตแบบบูลีนต่างจากพีชคณิตทั่วไป ทั้งคู่สามารถรับค่าได้เพียงสองค่าเท่านั้น: 0 และ 1;

2) การดำเนินการทางตรรกะพื้นฐาน:

• การเพิ่มเชิงตรรกะ (หรือการแยกทางตรรกะ OR ซึ่งแสดงด้วยเครื่องหมาย ?) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ 0 ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของการดำเนินการเท่ากับ 0 มิฉะนั้น ผลลัพธ์คือ 1;

• การคูณเชิงตรรกะ (หรือการเรียงต่อกัน เชิงตรรกะ AND แสดงด้วย ? หรือไม่ได้ระบุเลย) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ 1 ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของการดำเนินการเท่ากับ 1 มิฉะนั้น ผลลัพธ์ คือ 0;

• การปฏิเสธ (หรือในทางกลับกัน ลอจิคัล NO ระบุด้วยแถบเหนืออาร์กิวเมนต์) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ผลลัพธ์ของการดำเนินการมีค่าตรงกันข้ามกับอาร์กิวเมนต์

3) สัจพจน์ (กฎของพีชคณิตบูลีน) ซึ่งกำหนดกฎสำหรับการแปลงนิพจน์เชิงตรรกะ

โปรดทราบว่าการดำเนินการทางตรรกะแต่ละรายการสามารถดำเนินการได้ทั้งกับตัวแปรและบนฟังก์ชัน ซึ่งจะเรียกว่าฟังก์ชันบูลีนด้านล่าง... จำได้ว่าโดยการเปรียบเทียบกับพีชคณิตธรรมดา ในพีชคณิตแบบบูลีน การดำเนินการของการคูณเชิงตรรกะมีความสำคัญเหนือกว่าตรรกะ การดำเนินการเพิ่มเติม

นิพจน์บูลีนเกิดจากการรวมการดำเนินการเชิงตรรกะกับออบเจกต์จำนวนหนึ่ง (ตัวแปรหรือฟังก์ชัน) ซึ่งเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของการดำเนินการ

การแปลงนิพจน์เชิงตรรกะโดยใช้กฎของพีชคณิตแบบบูลีนมักจะดำเนินการโดยมีจุดประสงค์ในการย่อให้เล็กที่สุด เพราะยิ่งนิพจน์เรียบง่ายเท่าใด ความซับซ้อนของห่วงโซ่ตรรกะก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ซึ่งเป็นการนำนิพจน์เชิงตรรกะไปใช้ทางเทคนิค

กฎของพีชคณิตบูลีนถูกนำเสนอเป็นชุดของสัจพจน์และผลที่ตามมา สิ่งเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆโดยการแทนค่าต่างๆของตัวแปร

อะนาลอกทางเทคนิคของนิพจน์เชิงตรรกะสำหรับฟังก์ชันบูลีนคือแผนภาพลอจิก... ในกรณีนี้ ตัวแปรที่ฟังก์ชันบูลีนขึ้นอยู่กับจะเชื่อมต่อกับอินพุตภายนอกของวงจรนี้ ค่าของฟังก์ชันบูลีนจะเกิดขึ้นที่ เอาท์พุตภายนอกของวงจร และแต่ละการดำเนินการเชิงตรรกะในนิพจน์เชิงตรรกะจะถูกนำไปใช้โดยองค์ประกอบเชิงตรรกะ

ดังนั้น สำหรับสัญญาณอินพุตแต่ละชุดที่เอาต์พุตของวงจรลอจิก สัญญาณจะถูกสร้างขึ้นที่สอดคล้องกับค่าของฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรชุดนี้ (ต่อไป เราจะใช้หลักการต่อไปนี้: 0 — ระดับสัญญาณต่ำ , 1 — สัญญาณระดับสูง).

เมื่อสร้างวงจรลอจิก เราจะถือว่าตัวแปรถูกป้อนเข้าสู่อินพุทด้วยรหัสพาราเฟส (นั่นคือ มีทั้งค่าตรงและค่าผกผันของตัวแปร)

ตารางที่ 1 แสดงการกำหนดกราฟิกแบบดั้งเดิมขององค์ประกอบลอจิกบางอย่างตาม GOST 2.743-91 รวมถึงองค์ประกอบต่างประเทศ

นอกเหนือจากองค์ประกอบที่ดำเนินการสามอย่างของพีชคณิตบูลีน (AND, OR, NOT) ในแท็บ 1 แสดงองค์ประกอบที่ดำเนินการมาจากหลัก:

— AND -NOT — การลบล้างการคูณเชิงตรรกะ เรียกอีกอย่างว่าการย้ายของ Schaefer (แสดงโดย |)

— หรือไม่ — การปฏิเสธของส่วนเติมเต็มเชิงตรรกะ เรียกอีกอย่างว่าลูกศรของเพียรซ (แสดงโดย ?)

ด้วยการเชื่อมต่อลอจิกเกตเข้าด้วยกันแบบอนุกรม คุณสามารถใช้ฟังก์ชันบูลีนใดๆ ก็ได้

สูตรโครงสร้างที่แสดงวงจรรีเลย์โดยทั่วไป เช่น มีสัญลักษณ์นกอินทรีแสดงปฏิกิริยา ไม่สามารถถือเป็นฟังก์ชันของค่าสองค่าที่แสดงเฉพาะวงจรปิดหรือวงจรเปิด ดังนั้น เมื่อทำงานกับฟังก์ชันดังกล่าว การขึ้นต่อกันใหม่จำนวนมากจึงเกิดขึ้นซึ่งเกินขอบเขตของพีชคณิตบูลีน

ในพีชคณิตแบบบูลีน มีกฎพื้นฐานอยู่สี่คู่: การแทนที่สองแบบ สองการรวมกัน สองการแจกแจง และการผกผันทางกฎหมายสองข้อ กฎเหล่านี้สร้างความเท่าเทียมกันของนิพจน์ต่างๆ กล่าวคือ พิจารณานิพจน์ที่สามารถทดแทนกันได้เหมือนการแทนอัตลักษณ์ในพีชคณิตธรรมดา ในฐานะสัญลักษณ์การสมมูลเราใช้สัญลักษณ์ที่เหมือนกับสัญลักษณ์ความเท่าเทียมกันในพีชคณิตธรรมดา (=)

ความถูกต้องของกฎของพีชคณิตบูลีนสำหรับวงจรสัมผัสจะถูกกำหนดโดยการพิจารณาวงจรที่สอดคล้องกับด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์ที่เท่ากัน

กฎหมายการเดินทาง

เพิ่ม: x + y = y + x

แผนผังที่สอดคล้องกับนิพจน์เหล่านี้แสดงในรูปที่ 1, ก.

โดยปกติแล้ววงจรด้านซ้ายและขวาจะเป็นวงจรเปิด ซึ่งแต่ละวงจรจะปิดเมื่อองค์ประกอบอย่างใดอย่างหนึ่ง (X หรือ Y) ถูกกระตุ้น นั่นคือวงจรเหล่านี้มีค่าเท่ากัน สำหรับการคูณ: x ·y = y ·NS

แผนผังที่สอดคล้องกับนิพจน์เหล่านี้แสดงในรูปที่ 1b, ความสมมูลของพวกมันก็ชัดเจนเช่นกัน

ข้าว. 1

กฎของการรวมกัน

สำหรับการบวก: (x + y) + z = x + (y + z)

สำหรับการคูณ: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

คู่ของวงจรสมมูลที่สอดคล้องกับนิพจน์เหล่านี้แสดงในรูปที่ 2, ก, ข

ข้าว. 2

กฎหมายการจัดจำหน่าย

การคูณกับการบวก: (x + y) +z = x + (y + z)

การบวกและการคูณ x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

แผนผังที่สอดคล้องกับนิพจน์เหล่านี้แสดงในรูปที่ 3, ก, ข.

ข้าว. 3.

ความเท่าเทียมกันของโครงร่างเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยพิจารณาจากชุดคำสั่งสัมผัสต่างๆ

กฎของการผกผัน

ในการบวก: NS + c = NS·c

แถบด้านบนด้านซ้ายของนิพจน์คือเครื่องหมายปฏิเสธหรือผกผัน เครื่องหมายนี้แสดงว่าฟังก์ชันทั้งหมดมีความหมายตรงข้ามกับนิพจน์ด้านล่างเครื่องหมายปฏิเสธ เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดไดอะแกรมที่สอดคล้องกับฟังก์ชันผกผันทั้งหมด แต่ใคร ๆ ก็สามารถวาดไดอะแกรมที่สอดคล้องกับนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายลบได้ ดังนั้น สูตรสามารถแสดงด้วยไดอะแกรมที่แสดงในรูปที่ 4, ก.

ข้าว. 4.

ไดอะแกรมด้านซ้ายสอดคล้องกับนิพจน์ x + y และด้านขวาสำหรับ NS ·c

วงจรทั้งสองนี้ตรงข้ามกันในการทำงาน กล่าวคือ: หากวงจรด้านซ้ายที่มีองค์ประกอบที่ไม่ตื่นเต้น X, Y เป็นวงจรเปิด วงจรด้านขวาจะปิด หากอยู่ในวงจรด้านซ้าย เมื่อองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งถูกทริกเกอร์ วงจรจะปิด และในทางกลับกันวงจรจะเปิดขึ้น

เนื่องจากตามนิยามของเครื่องหมายลบ ฟังก์ชัน x + y เป็นส่วนผกผันของฟังก์ชัน x + y ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่า x + y = NS·in

เกี่ยวกับการคูณ: NS · c = NS + c

รูปแบบที่เกี่ยวข้องจะแสดงในรูปที่ 4, ข.

การสลับตำแหน่งและการรวมกัน และกฎและกฎการกระจายของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการเพิ่ม (สอดคล้องกับกฎที่คล้ายกันของพีชคณิตสามัญ)ดังนั้น ในกรณีของการเปลี่ยนแปลงสูตรโครงสร้างตามลำดับของการบวกและการคูณของพจน์ การจัดวางพจน์นอกวงเล็บเหลี่ยมและการขยายวงเล็บ คุณสามารถปฏิบัติตามกฎที่กำหนดไว้สำหรับการทำงานกับนิพจน์พีชคณิตทั่วไป กฎการกระจายของการบวกที่เกี่ยวข้องกับการคูณและกฎของการผกผันนั้นมีความเฉพาะเจาะจงกับพีชคณิตบูลีน