พื้นฐานและกฎของพีชคณิตของลอจิก
นักคณิตศาสตร์ชาวไอริชในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 จอร์จ บูล พัฒนาพีชคณิตของตรรกะ ("การศึกษากฎแห่งความคิด") ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตของตรรกะ พีชคณิตบูลีน.
โดยการกำหนดตัวอักษร แสดงการดำเนินการของการแปลงเชิงตรรกะในสัญลักษณ์การกระทำ และใช้กฎและสัจพจน์ที่กำหนดขึ้นสำหรับการกระทำเหล่านี้ พีชคณิตของตรรกะช่วยให้กระบวนการให้เหตุผลในการแก้ปัญหาที่กำหนดในรูปของตรรกะของข้อความได้รับการอธิบายอย่างครบถ้วนในอัลกอริทึม นั่นคือเพื่อให้มีโปรแกรมที่เขียนขึ้นทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหานี้
เพื่อแสดงถึงความจริงหรือความเท็จของข้อความ (นั่นคือเพื่อแนะนำค่าสำหรับการประเมินข้อความ) พีชคณิตของตรรกะใช้ระบบเลขฐานสองซึ่งสะดวกในกรณีนี้ หากข้อความเป็นจริง จะใช้ค่า 1 หากเป็นเท็จ จะใช้ค่า 0 ตรรกะ 1 และ 0 ไม่เหมือนกับเลขฐานสอง ไม่แสดงปริมาณ แต่แสดงสถานะ
ดังนั้นในวงจรไฟฟ้าที่อธิบายโดยใช้พีชคณิตบูลีน โดยที่ 1 คือแรงดันไฟฟ้าและ 0 คือไม่มี การจ่ายแรงดันไฟฟ้าจากหลายแหล่งไปยังโหนดหนึ่งของวงจร (นั่นคือการมาถึงของหน่วยลอจิคัลหลายหน่วยของมัน) คือ ยังแสดงเป็นหน่วยลอจิคัลที่ระบุไม่ใช่แรงดันไฟฟ้าทั้งหมดที่โหนด แต่มีเพียงโหนดเท่านั้น
เมื่ออธิบายสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตของวงจรลอจิกจะใช้ตัวแปรที่ใช้ค่าตรรกะ 0 หรือ 1 เท่านั้น การพึ่งพาสัญญาณเอาต์พุตบนอินพุตจะถูกกำหนด การดำเนินการทางตรรกะ (ฟังก์ชัน)… ให้เราแสดงตัวแปรอินพุตด้วย X1 และ X2 และเอาต์พุตที่ได้รับจากการดำเนินการเชิงตรรกะโดย y
ลองคิดดูสิ การดำเนินการทางตรรกะขั้นพื้นฐานสามประการด้วยความช่วยเหลือของสิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้นสามารถอธิบายได้
1. การดำเนินการ OR — การเพิ่มตรรกะ:
ด้วยค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร เราสามารถกำหนดการดำเนินการ OR เป็นความเพียงพอของอย่างน้อยหนึ่งหน่วยในอินพุตเพื่อสร้างหนึ่งหน่วยในเอาต์พุต ชื่อของการดำเนินการอธิบายด้วยความหมายเชิงความหมายของยูเนียน OR ในวลี: «ถ้า OR เป็นอินพุตเดียวหรือวินาทีเป็นหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตจึงเป็นหนึ่ง»
2. การดำเนินการ AND — การคูณเชิงตรรกะ:
จากการพิจารณาชุดค่าเต็มของตัวแปร การดำเนินการ AND ถูกกำหนดให้เป็นความจำเป็นในการจับคู่ค่าทั้งหมดในอินพุตเพื่อให้ได้ค่าหนึ่งในเอาต์พุต: “ถ้า AND เป็นอินพุตหนึ่งและตัวที่สองเป็นหนึ่ง ดังนั้น ผลลัพธ์คือหนึ่ง «
3. การดำเนินการไม่ — การปฏิเสธเชิงตรรกะหรือการผกผัน มันถูกระบุด้วยแถบเหนือตัวแปร
เมื่อย้อนกลับค่าของตัวแปรจะถูกย้อนกลับ
กฎพื้นฐานของพีชคณิตเชิงตรรกะ:
1. กฎของการเซ็ตซีโร: ผลคูณของตัวแปรจำนวนใด ๆ จะหายไปหากตัวแปรใด ๆ เป็นศูนย์โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรอื่น:
2. กฎของเซตสากล — ผลรวมของตัวแปรจำนวนใดๆ จะกลายเป็นหนึ่ง ถ้าตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเป็นหนึ่ง โดยไม่คำนึงถึงตัวแปรอื่นๆ:
3. กฎแห่งการทำซ้ำ — ตัวแปรซ้ำในนิพจน์สามารถละเว้นได้ (อีกนัยหนึ่ง ไม่มีการยกกำลังและการคูณด้วยสัมประสิทธิ์ตัวเลขในพีชคณิตบูลีน):
4. กฎของการผกผันสองครั้ง — การผกผันที่ดำเนินการสองครั้งเป็นการดำเนินการที่ว่างเปล่า:
5. กฎแห่งการเติมเต็ม — ผลคูณของตัวแปรแต่ละตัวและค่าผกผันเป็นศูนย์:
6. ผลรวมของแต่ละตัวแปรและส่วนกลับเป็นหนึ่ง:
7. กฎหมายคุ้มครอง — ผลลัพธ์ของการดำเนินการคูณและการบวกไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวแปรดังต่อไปนี้:
8. กฎหมายรวม — ระหว่างการดำเนินการคูณและการบวก ตัวแปรสามารถจัดกลุ่มตามลำดับใดก็ได้:
9. กฎหมายการจัดจำหน่าย — อนุญาตให้ใส่ค่าสัมประสิทธิ์รวมไว้นอกวงเล็บ:
10. กฎแห่งการดูดซึม — ระบุวิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรในทุกปัจจัยและคำศัพท์:
11. กฎของเดอ มอร์แกน — การผกผันของผลคูณคือผลรวมของการผกผันของตัวแปร:
การผกผันของผลรวมเป็นผลคูณของการผกผันของตัวแปร:
