การไหลและการหมุนเวียนของสนามเวกเตอร์

Nอ้างอิงจากเอกสารประกอบการบรรยายของ Richard Feynman

เมื่ออธิบายกฎของไฟฟ้าในแง่ของสนามเวกเตอร์ เราต้องเผชิญกับคุณสมบัติที่สำคัญทางคณิตศาสตร์สองประการของสนามเวกเตอร์: ฟลักซ์และการไหลเวียน เป็นการดีที่จะเข้าใจว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์เหล่านี้คืออะไรและความหมายเชิงปฏิบัติของพวกเขาคืออะไร

ส่วนที่สองของคำถามนั้นง่ายต่อการตอบทันที เนื่องจากแนวคิดของการไหลและการหมุนเวียนเป็นหัวใจของ สมการของแม็กซ์เวลล์ซึ่งอิเล็กโทรไดนามิกสมัยใหม่ทั้งหมดวางอยู่จริง

ตัวอย่างเช่น กฎของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถกำหนดได้ดังนี้: การไหลเวียนของสนามไฟฟ้า E ตามวงปิด C เท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงฟลักซ์ของสนามแม่เหล็ก B ผ่านพื้นผิว S ที่ล้อมรอบด้วยสิ่งนี้ ลูป B

ในสิ่งต่อไปนี้ เราจะอธิบายค่อนข้างง่าย โดยใช้ตัวอย่างของเหลวใส วิธีการกำหนดคุณลักษณะของฟิลด์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งคุณลักษณะของฟิลด์เหล่านี้ถูกนำมาและรับมา

การไหลของสนามเวกเตอร์

เริ่มต้นด้วย ให้เราวาดพื้นผิวปิดบางส่วนที่มีรูปร่างตามอำเภอใจรอบ ๆ พื้นที่ที่กำลังศึกษา หลังจากวาดภาพพื้นผิวนี้แล้ว เราจะถามว่าวัตถุของการศึกษาซึ่งเราเรียกว่าสนามนั้นไหลผ่านพื้นผิวปิดนี้หรือไม่ เพื่อทำความเข้าใจว่าสิ่งนี้เกี่ยวกับอะไร ลองพิจารณาตัวอย่างของเหลวง่ายๆ

สมมติว่าเรากำลังตรวจสอบสนามความเร็วของของไหลชนิดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องที่สมเหตุสมผลที่จะถามว่า: ของเหลวไหลผ่านพื้นผิวนี้ต่อหน่วยเวลามากกว่าไหลเข้าสู่ปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวนี้หรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง อัตราการไหลออกมักจะมาจากภายในสู่ภายนอกเป็นหลักใช่หรือไม่

ด้วยนิพจน์ "ฟลักซ์ของสนามเวกเตอร์" (และสำหรับตัวอย่างของเรา นิพจน์ "ฟลักซ์ความเร็วของของไหล" จะแม่นยำกว่า) เราจะตกลงที่จะตั้งชื่อจำนวนทั้งหมดของของไหลในจินตนาการที่ไหลผ่านพื้นผิวของปริมาตรที่พิจารณาซึ่งล้อมรอบด้วย a พื้นผิวปิด (สำหรับอัตราการไหลของของไหล ปริมาณของไหลต่อจากปริมาตรต่อหน่วยเวลา)

เป็นผลให้ฟลักซ์ผ่านองค์ประกอบพื้นผิวจะเท่ากับผลคูณของพื้นที่ขององค์ประกอบพื้นผิวโดยองค์ประกอบตั้งฉากของความเร็ว จากนั้นฟลักซ์ทั้งหมด (ทั้งหมด) ทั่วทั้งพื้นผิวจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบปกติเฉลี่ยของความเร็วซึ่งเราจะนับจากด้านในออกตามพื้นที่ผิวทั้งหมด

ตอนนี้กลับไปที่สนามไฟฟ้า แน่นอนว่าสนามไฟฟ้าไม่สามารถพิจารณาความเร็วของการไหลของของเหลวได้ แต่เรามีสิทธิ์ที่จะแนะนำแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของการไหล คล้ายกับที่เราอธิบายไว้ข้างต้นว่าเป็นการไหลของความเร็วของของเหลว

เฉพาะในกรณีของสนามไฟฟ้าเท่านั้น ฟลักซ์ของสนามไฟฟ้าสามารถกำหนดได้โดยองค์ประกอบปกติเฉลี่ยของความแรงของสนามไฟฟ้า E นอกจากนี้ ฟลักซ์ของสนามไฟฟ้าสามารถกำหนดได้โดยไม่จำเป็นต้องผ่านพื้นผิวปิด แต่ผ่านพื้นผิวที่มีขอบเขตใดๆ ของพื้นที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ S .

การหมุนเวียนของสนามเวกเตอร์

เป็นที่ทราบกันดีสำหรับทุกคนว่า เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ฟิลด์สามารถแสดงในรูปแบบของเส้นแรงที่เรียกว่า ในแต่ละจุดที่ทิศทางของเส้นสัมผัสสอดคล้องกับทิศทางของความแรงของสนาม

กลับไปที่การเปรียบเทียบของไหลและจินตนาการถึงสนามความเร็วของของไหล ลองถามตัวเอง คำถาม: ของไหลหมุนเวียนหรือไม่? นั่นคือมันเคลื่อนที่ไปในทิศทางของวงปิดในจินตนาการเป็นหลักหรือไม่?

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น ลองนึกภาพว่าของเหลวในภาชนะขนาดใหญ่มีการเคลื่อนที่ (รูป A) และจู่ๆ เราก็แช่แข็งปริมาตรเกือบทั้งหมด แต่สามารถปล่อยให้ปริมาตรไม่แข็งตัวในรูปของท่อปิดที่สม่ำเสมอซึ่งไม่มี แรงเสียดทานของของเหลวบนผนัง (รูปที่ b)

ภายนอกท่อนี้ ของเหลวกลายเป็นน้ำแข็งและดังนั้นจึงไม่สามารถเคลื่อนที่ได้อีกต่อไป แต่ภายในท่อ ของเหลวสามารถเคลื่อนที่ต่อไปได้ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีโมเมนตัมที่ขับเคลื่อน ตัวอย่างเช่น ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา (รูปที่ .°ซ). จากนั้นผลคูณของความเร็วของของไหลในท่อและความยาวของท่อจะเรียกว่าการไหลเวียนของความเร็วของของไหล

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดการหมุนเวียนสำหรับสนามเวกเตอร์ แม้ว่าสนามนี้จะไม่สามารถบอกได้อีกครั้งว่าเป็นความเร็วของสิ่งใดๆ แต่เรายังสามารถกำหนดคุณลักษณะทางคณิตศาสตร์ของ "การไหลเวียน" ตามแนวเส้นชั้นได้

ดังนั้น การหมุนเวียนของสนามเวกเตอร์ตามวงปิดในจินตนาการสามารถกำหนดเป็นผลคูณขององค์ประกอบแทนเจนต์เฉลี่ยของเวกเตอร์ในทิศทางของทางเดินของวง — โดยความยาวของวง